نکات مهم ریاضی

نکات مثلثات

  1)                                                                              

  ۲)                                        

 

   ۳)                                                                                

۴)                                                                                       

 در بسط sin3x وcos3x ،ضریب ها در سمت راست برابری، قرینه یکدیگرند و دو دستور مر بوط به sin3x و cos3x خیلی به هم شباهت دارند. در حالی که در حالت sin2x و cos2x چنین نیست....

 

کا را ادامه می دهیم ،برای کمانهای4xو 5x چه پیش می آید .نتیجه ها چنین است:

 

۵)                                                                   

۶)                                                                              

 این جا هم نتیجه های بسط sin4x و cos4x شباهتی ندارند، ولی برای کمانهای 5x به دست می آید:

۷)                                                               

 

۸)                                                                

 

شباهت بیشتر شد.ضریب ها نه تنها از لحاظ قدر مطلق ،که از لحاظ علامت هم ،یکی هستند..

دستور های مربوط به کمان های 3x و5x ،این «قانون» را به ما تلقین می کنند. این ها به صورت استقرایی به دست می آیند که البته نیاز به اثبات دارند.

 

 برای sin nx و cos nx ،وقتی n عددی فرد باشد:(n=2k+1, )

 

1)می توانsinnx رابر حسب توان هایsinx وcos nxرا بر حسب توان های cosx نوشت

 

2)در بسط(  sin nx  ( cos nx ،نتیجه نسبت به( sinx(cosxاز درجه n وتنها شامل توان های فرد است:

 

3)در هر حال،مجموع ضریب های عددی در بسط sin nxوcos nx،قدر مطلقی برابر واحد دارد:

                                                                        

4)ضریب بزر گترین درجه در بسطcos(2k+1)x،(   ) همیشه مثبت است:

 

5)   ضریب بزر گترین درجه در بسط sin nxوcos nx،از لحاظ قدر مطلق برابر است با

  

6) در حالت n=4k+1،( ) ضریب های جمله های هم درجه در بسط های sin nx وcos nx با هم برابر و در حالت n=4k-1 قرینه یکدیگرند.

 

اگر این «قانون ها»درست باشند،می توان مثلا cos7x را بدون بسط مستقیم ،به دست آورد. باید داشته باشیم:

 

   

 

برابری یک اتحاد و بنابراین ،به ازای هر مقدار حقیقی x بر قرار است.

 

جالبتر از همه این است که به کمک این بسط ها، می توان برخی معادله های جبری بالاتر از درجه دوم را حل کرد.

 

 

۹) 

                                                                                                     

 

۱۰)                                                                                                

  

   

ادامه نوشته

نکات مهم ریاضی

نکات جبر :

1) تعریف تفاضل متقارن:                                                  

                                                                                                         یا                          

                                                                                                           

       

 ۲)قانون جذب:                             

                                

                                                

۳)قوانین دو مر گان:

                                                       

                                                                                                                   

4) برای با قیمانده تقسیم اعداد بزرگ بر اعداد کوچک: اگر r باقیمانده تقسیم a برmباشد آنگاه                   یعنی باقیمانده تقسیم a بر m با باقیمانده تقسیم r بر m با هم یکی است.

اگر        ،آنگاه A,B دو پیشامد نا ساز گارند

                                                                               

5)اگر A,B دو پیشامد مستقل باشند :                               

                                                                                 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

                                                                                                                                                                                                                     

6)اگر  AوB اشتراکشان تهی نباشد دو پیشامد A,B دلخواه             

  

۷)اگر A,B دو پیشامد مستقل نبا شند B به A بستگی داشته باشد:

                                                                                                                   

                          و                                             

                        

                                                                       

 

۸) اگر A,B دو پیشامد باشند                            

 

9) شرط آنکه معادله همنهشتی       دارای جواب باشد آنست