حد و پیوستگی تابع

تعریف حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است هرگاه به ازای هر عدد مثبت کوچک

که قبلا به طور مشخص تعیین گردیده است بتوان مقداری از متغیر x را چنان تعیین کرد که جمیع مقادیر در نامساوی

صدق کند.
اگر a حد متغیر x باشد گوییم متغیر x به سوی حد a میل می‌کند و بر حسب قرداد آن را به یکی از صورتهای زیر می‌نویسیم:

تعبیر هندسی حد

مقدار ثابت a حد متغیر x است (یعنی L=a) هرگاه برای هر همسایگی کوچک که مرکز آن a و شعاع آن

است و این همسایگی قبلا بطور غیر مشخصی تعیین گردیده است مقداری از x را چنان تعیین نمود که جمیع نقاط متناظر به مقادیر بعدی متغیر در داخل این فاصله قرار گیرند.

خواص حد

مقدار ثابت c متغیری است که جمیع مقادیر آن بر یکدیگر منطبق است یعنی x=c. واضح است که حد مقدار ثابت c برابر c است زیرا همواره برای هر عدد مثبت و دلخواه نامساوی زیر برقرار است:

از تعریف حد نتیجه می‌گردد که متغیر نمی‌تواند دارای دو حد باشد زیرا اگر و باشد در این صورت متغیر x باید در یک زمان در دو نامساوی و صدق کند. ولی اگر باشد خواهیم دید که این امر امکان ندارد.
نباید تصور نمود که هر متغیر دارای حد می‌باشد.

ادامه نوشته

+ نوشته شده در شنبه بیست و ششم آذر ۱۳۹۰ ساعت 0:59 توسط maryam.gh |

(جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

تعاریف اصلی:

همانند اعداد، می توان دو تابع حقیقی را با هم جمع، از هم کم، در هم ضرب و بر هم تقسیم کرد و باز هم یک تابع حقیقی به دست آورد. بسیاری از توابع پیشرفته، به همین صورت به دست می آیند. دو تابع زیر را در نظر بگیرید:

$\begin{cases} f:D_f\to \mathbb{R} & \\ y=f(x) \end{cases} \,\,\,\begin{cases} g:D_g\to \mathbb{R} & \\ y=g(x) \end{cases}$

تعریف جمع و تفاضل و ضرب دو تابع f و g:

$\begin{cases} f+g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f+g)(x)=f(x)+g(x) \end{cases} \begin{cases} f-g:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \end{cases}$

$\begin{cases} fg:D_f\cap D_g\to \mathbb{R} & \\ (fg)(x)=f(x)g(x) \end{cases}$ ؛

بنابراین

$D_{f+g}=D_{f-g}=D_{fg}=D_f\cap D_g$

تمرین: به طور دقیق، علت تساوی های بالا را توضیح دهید.

تعریف تقسیم دو تابع حقیقی:

$\begin{cases} \frac{f}{g}:D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}\to \mathbb{R} & \\ \frac{f}{g}(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \end{cases}$ ؛

بنابر این

$D_\frac{f}{g}=D_f\cap D_g-\{x\,|\,g(x)= 0\}$

ترکیب دو تابع:

فرض کنید g:X→Y و f:Y→Z دو تابع باشند. در این صورت برای هر x∈X، داریم g(x)∈Y و لذا (g(x در دامنه تابع f قرار می‌گیرد و لذا

f(g(x))∈Z. کاری که انجام دادیم این بود که ابتدا x∈X را توسط تابع g به عضوی از مجموعه Y متناظر کردیم و عضو حاصله در Y را به‌وسیله تابع f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. به این ترتیب می‌توان گفت عضو x را توسط دو تابع g,f به عضوی از مجموعه Z متناظر کردیم. این کار را می‌توان به طور مستقیم نیز انجام داد.

برای این منظور تابع h:X→Z را برای هر x متعلق به مجموعه X، به صورت ((h(x)=f(g(x تعریف می‌کنیم. چنین تابعی را ترکیب تابع g و f می‌گوییم و آن را با fog (بخوانید f اُ g) نشان می‌دهیم.

با توجه به آنچه بیان شد تابع fog را می‌توان به صورت زیر نیز تعریف کرد:

$fog = \left\{ {\left( {x,z} \right) \in X \times Y:\exists y\left( {y \in Y \wedge \left( {x,y} \right) \in g \wedge \left( {y,z} \right) \in f} \right)} \right\}$

توجه داشته باشید که در حالت کلی ترکیب توابع جابجایی نمی‌باشد یعنی همواره رابطه fog=gof برقرار نمی‌باشد.

به عنوان مثال اگر f:R→R با ضابطه f(x)=x³ و g:R→R باضابطه g(x)=lnx باشد در این صورت، داریم:

(f o g)(x) = f (g (x)) = f (ln x) = (ln x) 3

(g o f)(x) = g (f (x)) = g (x 3) = ln(x) 3 = 3ln x

ادامه نوشته

+ نوشته شده در یکشنبه بیستم آذر ۱۳۹۰ ساعت 22:57 توسط maryam.gh |

مهارت در ریاضیات

نخستین وظیفه ریاضیات ساختن انسان است ،انسانی که بیندیشد.

حد و پیوستگی تابع

تعریف حد

تعبیر هندسی حد

خواص حد

(جمع-تفاضل-ضرب-تقسیم و ترکیب دو تابع)

نوشته‌های پیشین

آرشیو موضوعی

برچسب‌ها

پیوندها